Ci-dessous il y a trois exemples d’application :

• Problème de bord libre
• Analyse des contraintes dans un assemblage collé
• Détermination des efforts d’interface thermiques résiduels

Problème de bord libre

Le problème de bord libre s’agit d’une éprouvette de multicouche en traction avec bords libres. Dans notre cas il s’agit d’un multicouche symétrique (q₁,...,q_n)_S composé de N = 2n couches de matériaux orthotropes. Compte tenu des symétries, le problème peut se restreindre à la détermination des champs généralisés dans le quart de cellule sud-est de la Figure 1.

Figure 1. Problème de bord libre d’un multicouche symétrique simplifié par symétrie

Prenons l’exemple d’un en carbone-époxy. Les propriétés du matériau dans le repère d’orthotropie sont :

E_L = 150GPa, E_T = 10GPa, E_N = 10GPa
G_LT = 5GPa, G_LN = 5GPa, G_TN = 5GPa
n_LT = 0.3 et n_LN = 0.3

L’épaisseur de couche vaut 1mm, la largeur du multicouche vaut et la déformation axiale e = 1%.

Voici les étapes qu’il faut suivre pour obtenir les champs généralisés :

1. Définition du multicouche. Dans la fenêtre principale de DEILAM, dans l’espace du nombre total de couches tapez 4. Puis, dans le tableau mettez les propriétés des couches définies ci-dessus (voir Figure 2).

Figure 2. Définition d’un multicouche en carbone-époxy

2. Définition des propriétés de calcul. Dans le menu de la fenêtre principale, cliquez sur l’option « Propriétés de calcul » de DEILAM (voir Figure 3). Dans la fenêtre qui apparaît, enlevez les 2 options prendre en compte des déformations thermiques et hygroscopiques (voir Figure 4). Choisissez l’option tous les efforts et déplacements généralisés (voir Figure 4).

Figure 3. Où cliquer pour pouvoir définir les propriétés de calcul ?

Figure 4. Définition des propriétés de calcul

3. Définition des chargements. Dans la fenêtre principale de DEILAM, cliquez sur le bouton « Chargements » (voir Figure 5). Dans la fenêtre qui apparaît, dans la liste de configurations prédéterminées choisissez l’option « Traction longitudinale avec bords libres », puis tapez 1 dans l’espace de la déformation e (voir Figure 6). Finalement cliquez sur le bouton « Lecture des configurations »

Figure 5. Où cliquer pour pouvoir définir les chargements ?

Figure 6. Configuration des chargements ?

4. Définition du maillage. Dans la fenêtre principale, cliquez sur le bouton « Maillage de la largeur [0,b] » (voir Figure 7). Dans la fenêtre qui apparaît, dans la liste des types de maillage choisissez l’option « Automatique » (voir Figure 8). Dans l’espace de la valeur de la largeur b (dans notre cas b est égal à la demi-largeur du multicouche à cause de la simplification par symétrie), mettez 5 (voir Figure 8).

Figure 7. Où cliquer pour pouvoir définir le maillage ?

Figure 8. Définition du maillage

5. Lancement des calculs. Cliquez sur le bouton « Analyser » de la fenêtre principale de DEILAM (voir Figure 9).

Figure 9. Où cliquer pour lancer les calculs ?

6. Visualisation des résultats. Après l’étape précédente, une nouvelle fenêtre apparaît. Dans cette fenêtre cliquez sur le bouton « Tracer » (voir Figure 10), et dans la nouvelle fenêtre qui apparaît (voir Figure 11), choisissez dans la liste « Tracer les champs » l’option « Efforts membranaires et tranchants par couche ». Cochez la case correspondant au champ Nⁱ_yy (efforts membranaires) et mettez dans l’espace correspondant 1-2 (pour tracer les efforts membranaires dans les couche 1 et 2 : couches à 0° et à 90° respectivement). Puis cliquez sur le bouton « Tracer ». Vous verrez un graphe pareil à celui de la Figure 12. Pour distinguer les deux courbes il suffit de cliquer sur le bouton « Propriétés du graphe » et de choisir les couleurs et les types de ligne que vous voulez pour distinguer les deux courbes.

Figure 10. Où cliquer pour pouvoir choisir les champs à tracer sur le graphe ?

Figure 11. Configuration pour tracer le graphe des résultats

Figure 12. Tracé des courbes des champs choisis.

7. Visualisation d’autres champs. Pour visualiser les graphes d’autres champs tels que les efforts d’interface ou les déplacements généralisés, il suffit de reprendre l’étape 6 et de choisir les champs souhaités.

Analyse des contraintes dans un assemblage collé

Considérons le cas de l’assemblage suivant :

Figure 13. Joint collé.

On suppose qu’il existe un état de déformation plane généralisée e = 0. La force linéaire F vaut 100MPa.mm. Compte tenu des symétries le problème peut se restreindre à la moitié du bas de l’ensemble (voir Figure 13).

Pour effectuer l’analyse des contraintes dans cet assemblage à l’aide de DEILAM, on suit les étapes suivantes :

1. Définition du multicouche (voir Figure 14). Dans la fenêtre principale de DEILAM, dans l’espace du nombre total de couches tapez 6. Puis, dans le tableau mettez les propriétés des couches définies dans la Figure 13. Puisqu’il s’agit de couches de matériaux isotropes :
   • les modules d’Young , E_L , E_T et E_N valent E (le module d’Young du matériau isotrope)
   • les coefficients de Poisson n_LT et n_LN valent n(le coefficient de Poisson du matériau isotrope)
   • les modules de cisaillement G_LT, G_LN et G_TN valent (le module de cisaillement du matériau isotrope).

Figure 14. Tracé des courbes des champs choisis.

2. Définition des propriétés de calcul. Dans le menu de la fenêtre principale, cliquez sur l’option « Propriétés de calcul » de DEILAM. Dans la fenêtre qui apparaît, enlevez les 2 options prendre en compte des déformations thermiques et hygroscopiques (voir Figure 15). Choisissez l’option tous les efforts et déplacements généralisés (voir Figure 15).

Figure 15. Définition des propriétés de calcul

3. Définition des chargements. Dans la fenêtre principale de DEILAM, cliquez sur le bouton « Chargements ». Dans la fenêtre qui apparaît (appelée « Configuration du chargement mécanique et hygrothermique »), dans la liste de configurations prédéterminées choisissez « Aucune » (voir Figure 16). Ensuite, sur cette fenêtre, choisissez dans la configuration des conditions aux limites les options des forces et des moments à gauche et à droite. Puis, tapez 0 dans l’espace de la déformation e(voir Figure 16). Après, cliquez sur le bouton « Valeurs des conditions aux limites ». Une nouvelle fenêtre apparaît (appelée « Valeurs des conditions aux limites »). Dans cette nouvelle fenêtre, on définit premièrement les valeurs au bord gauche comme suit (voir Figure 17) :

Dans le type de saisie des données choisissez l’option saisie par couche et choisissez la couche 1. Dans les options des efforts et déplacements choisissez le bord « Gauche » et mettez des zéros partout sauf pour FY = 100MPa.mm. . Cliquez ensuite sur le bouton « Valider les valeurs » (vous verrez dans le tableau du bas de fenêtre les valeurs saisies). Pour les couches 2 et 3 sur le bord gauche, répétez les mêmes opérations sans oublier de spécifier le numéro de couche et de mettre des zéros pour tous les efforts et moments.

Pour le bord droit on suit les mêmes instructions sauf que le bord à choisir est le bord « Droit » et on met des zéros pour tous les efforts et moments dans toutes les couches sauf pour la force FY = 100MPa.mm appliquée sur la couche 3.

Finalement cliquez sur le bouton « OK » pour valider les données et vous reviendrez sur la fenêtre appelée « Configuration du chargement mécanique et hygrothermique ». Vous devez cliquer sur le bouton « Lecture des configurations ».

Figure 16. Première étape de la configuration des chargements

Figure 17. Deuxième étape de la configuration des chargements

4. Définition du maillage. Dans la fenêtre principale, cliquez sur le bouton « Maillage de la largeur [0,b] ». Dans la fenêtre qui apparaît, dans la liste des types de maillage choisissez l’option « Automatique ». Dans l’espace de la valeur de la largeur b, mettez 30.
5. Lancement des calculs. Cliquez sur le bouton « Analyser » de la fenêtre principale de DEILAM.
6. Visualisation des résultats. Après l’étape précédente, une nouvelle fenêtre apparaît. Dans cette fenêtre cliquez sur le bouton « Tracer », et dans la nouvelle fenêtre qui apparaît, choisissez dans la liste « Tracer les champs » l’option « Efforts d’interface ». Cochez la case correspondant au champ (efforts d’arrachement) et mettez dans l’espace correspondant 1-2 (pour tracer les efforts aux interfaces 1 et 2 : interfaces acier/colle et colle/acier respectivement). Puis cliquez sur le bouton « Tracer ». Vous verrez un graphe pareil à celui de la Figure 18 : il s’agit de la courbe des efforts d’arrachement aux interfaces 1 et 2 en fonction de la position (y) sur l’interface. Pour distinguer les deux courbes il suffit de cliquer sur le bouton « Propriétés du graphe » et de choisir les couleurs et les types de ligne que vous voulez pour distinguer les deux courbes.

Figure 18. Première étape de la configuration des chargements

7. Visualisation d’autres champs. Pour visualiser d’autres champs tels que les efforts membranaires ou les rotations vous devez reprendre l’étape 6.

Détermination des efforts et déplacements thermiques résiduels

Considérons un multicouche symétrique (q₁,...,q_n)_S composé de N = 2n couches de matériaux orthotropes. Le multicouche est soumis uniquement à une variation de température DT . Pour ce problème, il n’y a aucune force extérieure appliquée au multicouche. Alors, la déformation axiale devrait être telle que la force globale suivant l’axe des x :

soit égale à zéro.

Dans cette version de MAC LAM, il n’est pas possible de donner la valeur de la force F. Malgré tout, on peut calculer la déformation axiale e qui donnerait une force F nulle. Pour cela il suffit de suivre les étapes suivantes :

1. Calcul de la rigidité globale R dans l’axe des x (cette rigidité prend en compte l’effet de bord). Cette rigidité est calculée en faisant premièrement un calcul de type « problème de bord libre » sans prise en compte de la température et avec une déformation axiale e₁ arbitraire non nulle. Puis on enregistre les résultats des efforts membranaires Nⁱ_xx pour toutes les couches et on intègre la somme de tous ces champs Nⁱ_xx sur la largeur [0,b]; le résultat de l’intégration est une force F₁ non nulle. Finalement, on calcule .

R = F₁ / e₁

2. Calcul intermédiaire avec pour données une variation de température et une déformation axiale e₂ = 0 nulle : . N’oubliez pas de mettre les coefficients de dilatation thermique. Après avoir achevé les calculs, on enregistre les résultats des efforts membranaires pour toutes les couches et on intègre la somme de tous ces champs Nⁱ_xx sur la largeur [0,b] ; le résultat de l’intégration est une force F₂.
3. Calcul de la déformation axiale e qui donne, pour une variation de température DT, une force F = 0 . Cette déformation est obtenue par la formule :

e = -F₂ / R

Après avoir déterminé la déformation , on effectue les mêmes étapes que pour le cas du problème de bord libre mais avec cette fois-ci :

• un chargement axial égal à celui calculé par la formule ci-dessus et
• une prise en compte d’une variation de température (n’oubliez pas de mettre les coefficients de dilatation thermique).

Les résultats obtenus par ce dernier calcul sont les champs résiduels dus à une variation de température seule.

Remarques importantes

Références

[1] A. Diaz Diaz, J.F. Caron, R.P. Carreira, “Software application for evaluating interfacial stresses in inelastic symmetrical laminates with free edges”, Journal of Composite Structures, 58, 195-208, 2002

[2] CARREIRA RP, CARON JF, DIAZ DIAZ A. “Model of multi-layered materials for interface stresses estimation and validation by finite element calculations”, Mechanics of Materials, 34, 217-230, 2002.

[3] CARON JF, CARREIRA RP, DIAZ DIAZ A. “Critère d'initiation de délaminage dans les stratifiés”. Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, 327, 1291-1296, 1999

[4] CARON JF, DIAZ DIAZ A, CARREIRA RP, CHABOT A, EHRLACHER A. “Multi-particle modelling for the prediction of delamination in multi-layered materials”. Article accepté pour publication dans la revue Composite Science and Technology, 2005.

[5] DIAZ DIAZ A, CARON JF. “Prediction of the onset of mode III delamination in carbon-epoxy laminates”. Article accepté pour publication dans la revue Composite Structures, 2005.